Définition :
Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est une équation de la forme $$ay''+by'+cy=g(x)\tag{E}$$ avec \(a\neq0\), \(a,b,c\in\Bbb R\) et \(g:I\to\Bbb R\) est une fonction continue
Théorème :
L'ensemble des solutions de l'équation \(ay''+by'+cy=0\) est un \({\Bbb R}\)-espace vectoriel de dimension \(2\)
(Espace vectoriel, Dimension)
$$\begin{align} &{{at''+by'+cy=0}}\\ \iff&{{(ar^2+br+c)e^{rx}=0}}\\ \iff& {{ar^2+br+c=0}}\end{align}$$
Définition :
L'équation \(ar^2+br+c=0\) est appelée équation caractéristique associée à \(ay''+by'+cy=0\)
Théorème :
Soit \(\Delta=b^2-4ac\) le discriminant de l'équation caractéristique associée à \(ay''+by'+cy=0\quad(E_0)\)
Si \(\Delta\gt 0\), les solutions de \((E_0)\) sont : $$y(x)=\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2x}\quad\text{ avec }\quad\lambda,\mu\in{\Bbb R}$$
Théorème :
Soit \(\Delta=b^2-4ac\) le discriminant de l'équation caractéristique associée à \(ay''+by'+cy=0\)
Si \(\Delta=0\), les solutions de \((E_0)\) sont : $$y(x)=(\lambda+\mu x)e^{r_0x}\quad\text{ avec }\quad\mu,\lambda\in{\Bbb R}$$
Théorème :
Soit \(\Delta=b^2-4ac\) le discriminant de l'équation caractéristique associée à \(ay''+by'+cy=0\)
Si \(\Delta\lt 0\), les solutions de \((E_0)\) sont : $$y(x)=e^{\alpha x}(\lambda\cos(\beta x)+\mu\sin(\beta x))\quad\text{ avec }\quad\lambda,\mu\in{\Bbb R}$$
(Discriminant du deuxième degré, Sinus, Cosinus)
Théorème de Cauchy-Lipschitz
Théorème :
Les solutions générales de l'équation \(ay''+by'+cy=g(x)\) s'obtiennent en ajoutant les solutions générales de l'équation homogène à une solution particulière